Удивительный гёмбёц: неваляшка без грузика внутри

Удивительный гёмбёц: неваляшка без грузика внутри

Это свойство, именуемое моно-моностатичностью, обусловлено конструкцией игрушки — на дне находится груз, а сверху она безлюдная. А возможно ли сделать однородный моно-моностатический объект? Двум венгерским инженерам это удалось.

Моно-моностатические тела, имеющие одно устойчивое и одно неустойчивое положение равновесия, ускользают от воображения простого человека. Но не от природы: панцири некоторых черепах и жуков имеют форму, которая облегчает им переворот с «головы на ноги».

Габор Домокош взял инженерное образование в Венгрии, но интересовался скорее не практической, а математической стороной задач. В конце 1980-х он на год уехал поработать в Корнеллском университете, где познакомился с Энди Джимом и Руиной Пападопулосом. Как говорил Габор Домокош в собственной лекции, «Джим заинтересовался положениями равновесия различных тел, изготовленных из фанеры (плоских, с однородной массой) и проволоки (масса которых распределена по контуру).

К примеру, квадрат имеет четыре положения устойчивого равновесия, он может находиться на каждой из собственных сторон, и четыре положения неустойчивого равновесия — стоя на каждой из вершин. Эллипс имеет положение устойчивого равновесия при горизонтальной ориентации долгой оси и неустойчивое — при вертикальной; он симметричен, исходя из этого имеет два устойчивых и два неустойчивых положения равновесия.

Джим заключил , что это предельное число положений равновесия для любой фигуры». В первой половине 90-ых годов двадцатого века Габор Домокош, Энди Джим и Руина Пападопулос доказали, что двумерный объект, имеющий лишь одно состояние устойчивого и одно состояние неустойчивого равновесия, не существует.

Обед с Арнольдом

В 1995 году Габор Домокош встретился с одним из наибольших математиков XX века Владимиром Арнольдом на Интернациональном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге. Арнольд просматривал в том месте лекцию, посвященную теореме Якоби. Как вспоминает Габор Домокош, «Арнольд говорил о различных задачах — дифференциальная геометрия, оптика, механика. Любая задача имела отношение к числу четыре.

Четыре — в данной задаче, четыре — в следующей, четыре, четыре, четыре. Тогда я отыскал в памяти о том, что в отечественной статье кроме этого было доказано, что плоское тело имеет четыре положения равновесия — два устойчивых, два неустойчивых. Это вынудило меня задуматься: возможно, и отечественная задача имеет отношение к данной теореме?»

По окончании конференции, как вспоминает Габор Домокош, ему удалось побеседовать с Владимиром Арнольдом, не смотря на то, что разговор длился всего 15 мин.: «Я поведал о фигурах из проволоки и фанеры и о том, что они имеют как минимум несколько положений устойчивого и как минимум несколько неустойчивого равновесия, в сумме четыре. Арнольд выслушал меня и задумался. Через пять мин. я задал вопрос его, желает ли он знать, как мы это доказали, на что он ответил: «Само собой разумеется, я знаю, как вы это доказали. Но это не то, о чем я думаю.

Вопрос в том, имеет ли это отношение к теореме Якоби либо нет». Через какое-то время он продолжил: «Я пологаю, что теорема Якоби и ваша задача связаны, но сообщение непрямая. Я пологаю, что имеется еще одна теорема, которая включает теорему Якоби и вашу задачу. Я имел возможность бы сообщить больше, если бы вы поведали мне о трехмерной версии вашей задачи».

Я с гордостью обрисовал ему контрпример — тело, имеющее одно положение устойчивого равновесия: срезанный цилиндр.

На что Арнольд увидел: «Вы, само собой разумеется, осознаёте, что это не контрпример! Основной итог вашей работы состоит не в том, что тело имеет два и больше устойчивых положений равновесия, а в том, что оно имеет четыре положения равновесия. И ваш цилиндр имеет четыре положения равновесия — одно устойчивое и три неустойчивых.

Одновременно с этим тело с меньшим числом положений равновесия существует. Напишите мне письмо, в то время, когда отыщете его».

Колумб, мясной пирожок и яйцо

Подтверждение существования для того чтобы тела и поиск его формы заняли десять лет. В 2006 году Габор Домокош и его бывший аспирант Петер Варконьи, трудившийся тогда в Принстонском университете, опубликовали две статьи. В одной они доказали существование моно-моностатических тел, в второй обрисовали форму для того чтобы тела, которому дали наименование «гёмбёц», забранное из венгерского языка: g? mb?c — круглый мясной пирожок.

Мысль таковой формы основывается на интуитивном предположении о том, что малые трансформации формы объекта смогут привести к происхождению новых тел с б? льшим (но не меньшим!) числом положений равновесия. Это возможно проиллюстрировать легендой о «колумбовом яйце». По легенде, Христофор Колумб, возвратившись в Испанию по окончании открытия Америки, сидел на званом ужине, устроенном в его честь.

Кто-то из присутствующих заявил: «Изобрести что то новое весьма легко, это имел возможность бы сделать любой», — на что Колумб внес предложение гостям поставить яйцо вертикально на стол. В то время, когда он убедился, что никто не имеет возможности этого сделать, то примял яйцо с одного финиша и поставил его на полученный плоский торец, добавив: Вот сейчас это может сделать любой».

Для построения гёмбёца Домокош и Варконьи, по сути дела, поменяли поверхность шара, отслеживая два параметра: положение и выпуклость центра тяжести. Само собой разумеется, существует нескончаемое множество тел, владеющих особенностями моно-моностатичности, и гёмбёц — только одно из них.

Высокая точность

По окончании лекции, прочтённой на конференции «Наследие Владимира Арнольда» в канадском Университете Торонто, Габор Домокош демонстрирует аудитории гёмбёц. Но перед этим он добывает из кармана платок, вытирает стол. Видя удивление аудитории, растолковывает: «Вы не поверите, но кроме того пыль на столе может поменять поведение гёмбёца. Точность его формы крайне важна.

В случае если совершить ошибку на долю миллиметра, количество положений равновесия изменится. В случае если хотя бы мало поменять параметры фигуры, количество положений равновесия увеличится. Забавный диалог в один раз у меня был с компанией, которой я заказал первый гёмбёц.

На вопрос, сделали ли они нужную форму с одним положением устойчивого и одним положением неустойчивого равновесия, они ответили: «Мы сделали кроме того лучше — отечественная форма имеет 16 положений устойчивого равновесия!». «А из-за чего бы вам не пользоваться разработками 3D-печати?» — задают вопросы из зала. «В действительности эти технологии на данный момент не так уж развиты, — отвечает Домокош. — 3D-печать дискретна, материал наносится слоями. Другими словами полученная форма будет иметь маленькие «ступени», каковые, быть может, визуально не искажают форму, вместе с тем будут поменять количество устойчивых положений гёмбёца».

Время собирать камни

«На поиск гёмбёца у меня ушло десять лет, — говорит Домокош. — За это время я сделал всё, что возможно было сделать для ответа задачи. Проводя отпуск с женой на Родосе в Греции, я поразмыслил: возможно, искомое тело возможно отыскать среди камней на пляже. Мы стали собирать камни.

На протяжении семи дней каждое утро приходили на пляж, собирали камни, днем разглядывали их, записывали в таблицу число устойчивых и неустойчивых точек для каждого камня, а вечером я возвращал камни на место. За это время мы собрали две тысячи камней. Эта была безумный мысль!

Но оказалось, что среди камней нет нужных форм.

В то время, когда я второй раз встретился с Арнольдом и подарил первый сделанный гёмбёц (G?mb?c 001), поведав наряду с этим о собственных итогах, он обратил внимание на мою табличку, в которой были классифицированы камни по числу положений равновесия. В соответствии с ей, большая часть камней близки по форме к эллипсоидам и имеют два положения устойчивого и два неустойчивого равновесия.

Арнольд высказал предположение, что, вероятнее, естественная абразия (другими словами постепенное истирание камней) сокращает количество положений равновесия. Его мысль была верной, но при достижении двух положений устойчивого и двух неустойчивого равновесия процесс останавливается. Предстоящее уменьшение количества положений равновесия — очень маловероятное событие.

Исходя из этого гёмбёц, имеющий предельное количество положений равновесия, редко встречается в природе. Английский физик, доктор наук Бристольского университета господин Майкл Бэрри как-то сообщил: «Гёмбёц существует в природе, но лишь как мечта». Тем самым господин Бэрри желал выделить, что любой камень на морском берегу пытается к форме гёмбёца, но не имеет возможности ее достигнуть.

Если бы вы задали вопрос камень, желает ли он быть гёмбёцем, он бы ответил: «Само собой разумеется, желаю!» Из-за чего так получается — задача, над которой я на данный момент тружусь».

Благодарим за помощь в подготовке материала газету «Троицкий вариант — Наука».

Изобретатель гёмбёца

Имя: Габор Домокош (G?bor Domokos)

Год рождения: 1961 Страна: Венгрия

Образование: экономики и Будапештский университет технологии — инженерная архитектура, 1986.

Должность: доктор наук факультета механики, структур и материалов экономики и Будапештского университета технологии, адъюнкт-доктор наук механики и космической инженерии Корнеллского университета.

Эволюция форм

Все другие виды тел (с б? льшим числом положений равновесия) смогут быть взяты из гёмбёца методом последовательного удаления малых количеств материала. Другими словами в математическом смысле гёмбёц есть «предком» всех форм, соответственно, не существует неспециализированного метода создания гёмбёца из произвольного тела с б? льшим числом положений равновесия. В природе всё в противном случае: гёмбёц не «предок» форм камней, а конечная (не смотря на то, что и недостижимая), цель их эволюции — и это настоящая тайная.

Гёмбёц и черепаха

Что случится с черепахой, если она случайно перевернется на пояснице? Выясняется, что среди 200 существующих на Земле видов черепах имеется длиннолапые, каковые пользуются лапами, дабы перевернуться со поясницы на брюшко, и коротколапые. К последним относятся индийские звездчатые черепахи Geochelone elegans, а перевернуться им оказывает помощь форма панциря, близкая к форме гёмбёца. Само собой разумеется, это не совсем корректная аналогия: черепахи не являются ни однородными, ни моно-моностатичными.

Но им не требуется быть в точности моно-моностатичными, потому, что они способны помогать перевороту перемещением лап. Иначе, близость к форме моно-моностатичного объекта вряд ли можно считать случайным совпадением — это явный продукт эволюции.

Статья «Целой гёмбёц» размещена в издании «Популярная механика» (№150, апрель 2015).

НЕОБЫЧНЫЕ АНТИСТРЕСС ИГРУШКИ | ПЯТЬ ЛУЧШИХ FIDGET ИГРУШЕК


Читайте также: